Die quadratische Ergänzung ist eine Methode, die in der Mathematik verwendet wird, um quadratische Gleichungen in eine leicht lösbare Form zu bringen. Diese Technik ist besonders nützlich, wenn man die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung in die Scheitelpunktform umwandeln möchte oder die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ableiten will.
Was ist die quadratische Ergänzung?
Eine quadratische Gleichung hat die Form:
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0
Ziel der quadratischen Ergänzung ist es, den quadratischen Ausdruck durch Hinzufügen und Subtrahieren eines geeigneten Wertes in eine perfekte Quadratform zu überführen. Dies erleichtert das Lösen der Gleichung, insbesondere durch das Anwenden der Wurzelregel.
Schritte der quadratischen Ergänzung
Hier eine Schritt-für-Schritt-Anleitung:
- Gleichung umstellen: Stelle sicher, dass der Koeffizient von x2x^2×2 gleich 1 ist. Falls das nicht der Fall ist, teile die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten vor x2x^2×2.Beispiel: x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0x2+6x+5=0
- Konstante isolieren: Verschiebe die Konstante (in diesem Fall 5) auf die andere Seite der Gleichung:x2+6x=−5x^2 + 6x = -5×2+6x=−5
- Halbiere den linearen Koeffizienten: Halbiere den Koeffizienten vor xxx (in diesem Fall 6) und quadriere das Ergebnis. Der lineare Koeffizient ist hier 6, die Hälfte davon ist 3, und 32=93^2 = 932=9.
- Quadratische Ergänzung hinzufügen und subtrahieren: Addiere und subtrahiere das Quadrat zu beiden Seiten der Gleichung:x2+6x+9−9=−5x^2 + 6x + 9 – 9 = -5×2+6x+9−9=−5 (x+3)2−9=−5(x + 3)^2 – 9 = -5(x+3)2−9=−5
- Vereinfachen: Bringe die subtrahierte Zahl auf die andere Seite:(x+3)2=4(x + 3)^2 = 4(x+3)2=4
- Lösen: Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten:x+3=±2x + 3 = \pm 2x+3=±2Dies ergibt zwei Lösungen: x=−1x = -1x=−1 und x=−5x = -5x=−5.
Übungsbeispiele
- Beispiel 1: Löse die Gleichung x2+8x+7=0x^2 + 8x + 7 = 0x2+8x+7=0 durch quadratische Ergänzung.Schritte:
- Verschiebe die 7: x2+8x=−7x^2 + 8x = -7×2+8x=−7
- Halbiere den linearen Koeffizienten: 82=4\frac{8}{2} = 428=4, 42=164^2 = 1642=16
- Ergänze: x2+8x+16=−7+16x^2 + 8x + 16 = -7 + 16×2+8x+16=−7+16
- Vereinfache: (x+4)2=9(x + 4)^2 = 9(x+4)2=9
- Lösen: x+4=±3x + 4 = \pm 3x+4=±3, also x=−1x = -1x=−1 und x=−7x = -7x=−7
- Beispiel 2: Löse die Gleichung 2×2+12x+10=02x^2 + 12x + 10 = 02×2+12x+10=0.Schritte:
- Teile durch 2: x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0x2+6x+5=0
- Verschiebe die 5: x2+6x=−5x^2 + 6x = -5×2+6x=−5
- Halbiere den linearen Koeffizienten: 62=3\frac{6}{2} = 326=3, 32=93^2 = 932=9
- Ergänze: x2+6x+9=−5+9x^2 + 6x + 9 = -5 + 9×2+6x+9=−5+9
- Vereinfache: (x+3)2=4(x + 3)^2 = 4(x+3)2=4
- Lösen: x+3=±2x + 3 = \pm 2x+3=±2, also x=−1x = -1x=−1 und x=−5x = -5x=−5
Fazit
Die quadratische Ergänzung ist eine zentrale Technik, um quadratische Gleichungen zu lösen. Durch Übung und das Verstehen der Schritte kannst du schnell und effektiv Gleichungen umformen und lösen.